Новое доказательство теоремы о многочлене

Habrahabr
В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.
Пусть — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки найдется натуральное такое, что . Тогда многочлен.
Доказательство
Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть и замкнутые подмножества прямой, причем и . Тогда в найдется точка, которая содержится в одном из вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка , натуральное и такие, что .
Действительно (от противного), выберем точку и окружим ее окрестностью , где . Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит . Выберем в точку . Окружим интервалом таким, что концы этого интервала — точки и лежат в , а . По предположению . Это позволяет выбрать в некоторую точку Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов Ясно, что
, (1)
(2)
Так как каждый промежуток , то , а из (1) и (2) следует, что для каждого . Таким образом мы нашли точку , но не лежащую ни в одном из множеств
.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом . Множество , дополнительное к обозначим через и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если , то — неправильная точка).
Читать дальше →