Геометрия данных 3. Скалярное произведение векторов

Habrahabr 1

Система координат служит подпоркой для описания «реального положения вещей». Важно отличать понятия, связанные с системой координат и независимые от нее — инварианты. В предыдущей статье мы разбирали один из таких инвариантов — дистанцию между элементами. Здесь рассмотрим не менее интересный, — скалярное произведение упорядоченных пар.

Упорядоченная пара

Координаты вектора могут быть получены на как разность координат элементов, но обратное неверное — по координатам вектора невозможно восстановить координаты образовавших его элементов. Координаты двух элементов несут в себе больше информации, чем координаты вектора. Поэтому из элементов можно образовать пару — улучшенный аналог вектора. Такой набор из двух элементов называют упорядоченной парой.

Каждой упорядоченной паре можно сопоставить вектор — разность элементов, образующих пару. Важно, что для пары можно определить скалярное произведение.

Координаты элементов в базисе

Набор координат элементов пространства можно представить в виде матрицы. Строки матрицы будут соответствовать элементам, а столбцы — компонентам координат, то есть элементам базиса. Обозначим матрицу дистанционных координат элементов нижними индексами:

$P_{ia}$

. Здесь

$i$

— это элемент пространства, а

$a$

— элемент базиса (компоненты координат). При переходе от ди-координат к би-координатам

$P_i^a$

и обратно («жонглировании индексами») индекс элемента положения не меняет:

$P_i^a=P_{ib}Lm^{ba}$

и

$P_{ia}=P_i^b Gm_{ba} \quad(3.1)$

Здесь

$Lm^{ba}$

и

$Gm_{ba}$

— лапласовский и дистанционный метрические тензоры соответственно.

Координаты пар

Пара — это совокупность двух элементов. Поэтому тензор пары имеет два индекса координат (для каждого элемента пары) и один индекс базиса:

$(P_{ia},P_{ja})$

.

Координаты вектора, сопутствующего паре — это координаты разности элементов пары:

$V_{ij,a}= P_{ja} - P_{ia}, \space \space V^{a}_{ij}=P^a_j - P^a_i \quad(3.2)$

Здесь

$V_{ij,a}$

— ди-координаты, а

$V^{a}_{ij}$

би-координаты векторов пар.

Инварианты и собственное пространство

Под скалярным инвариантом понимают некое число, значение которого не зависит от выбора системы координат (точки отсчета).

Для набора независимых элементов всегда можно определить собственное пространство. Элементы набора будут базовыми вершинами данного пространства. Пространство по отношению к данным элементам является собственным. Вершины базиса всегда принадлежат собственному пространству (норма элемента в собственном пространстве всегда нулевая).

Такие инварианты как дистанции между элементами в собственном пространстве и скалярное произведение пар являются абсолютными инвариантами — не зависят от системы координат.

Норма элемента и норма пары

Норма элемента в пространстве базиса — это свертка его взаимных координат:

$N_{i}=P_{ia} P^a_i \quad(3.3)$

В предыдущей части показано, что норма элемента характеризует дистанцию от элемента до пространства базиса. Данная дистанция не зависит от выбора базиса, если само пространство не меняется.

Аналогичным образом можно определить норму пары. Только сворачивать надо разность координат образующих пару элементов:

$N_{(i,j)} = (P_{ja} - P_{ia}) (P^a_j - P^a_i) = V_{ij,a} V^{a}_{ij} \quad(3.4)$

Для базовых вершин норма пары будет равна дистанции между вершинами — инвариант:

$N_{(i,j)}=Q_{ij}$

.

Скалярное произведение пар

Под скалярным произведением понимается свертка координат по индексу базиса. Если

$\vec{u}$

и

$\vec{v}$

— это два неких вектора, то их скалярное произведение можно записать как:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=u_a v^a \quad(3.5)$

Аналогичным образом можно определить скалярное произведение упорядоченных пар. В общем случае результат такого произведения для множества пар представляет собой тензор:

$G_{ij,kl} = (P_{ja} - P_{ia}) (P^a_l - P^a_k) = V_{ij,a} V^{a}_{kl} \quad(3.6)$

Индексы

$ij$

задают одну пару, а индексы

$kl$

— другую.

Пары с общей вершиной — смежные пары

Вектор пары можно представить как сумму других векторов, начало и конец которых совпадают:

$ V_{ij,a}=V_{ik,a}+V_{kj,a}=-V_{ki,a}+V_{kj,a} $

$ V^a_{ij}=V^a_{ik}+V^a_{kj}=-V^a_{ki}+V^a_{kj} \quad(3.7) $

Если подставить (3.7) в (3.4), то получим выражение для взаимной нормы (скалярного произведения) пар

$(P_{k},P_{i})$

и

$(P_{k},P_{j})$

:

$N'_{ki,kj}=V_{ki,a} V^{a}_{kj}=(Q'_{ik} + Q'_{jk} - Q'_{ij})/2 \quad(3.8.1)$

Здесь

$Q'_{ik}$

— дистанция между проекциями элементов на пространство базиса. В собственном пространстве вершин дистанции между ними абсолютны, поэтому для определения абсолютного скалярного произведения следует опустить штрихи:

$G_{ki,kj}=(Q_{ik} + Q_{jk} - Q_{ij})/2= Q2_{ij} - Q2_{ik} - Q2_{jk} \quad(3.8.2)$

Формула (3.8.2) — это теорема косинусов для треугольника. Здесь пары, между которыми определена взаимная норма, имеют общий элемент kсмежные пары.

На 3-х вершинах можно определить три скалярных произведения. Их сумма выражается через сумму дистанций между вершинами:

$G_{ki,kj} + G_{ik,ij} + G_{ji,jk} = (Q_{jk} + Q_{ik} + Q_{ij})/2 \quad(3.9.1)$

Квадрат скалярного произведения на 3-х вершинах связан с площадью образуемого ими треугольника

$S_{ijk}$

(формула Герона):

$ 4S_{ijk}^2 = Q_{ik} Q_{jk} - (G_{ik,jk})^2 \quad(3.9.2)$

Независимые пары — четыре разных вершины

В общем случае взаимная норма может быть определена для пар, не имеющих общих элементов. Вывод формулы аналогичен (3.8), только вместо одного промежуточного элемента используем два. Получаем:

$G_{ij,kl}=(Q_{il} + Q_{jk} - Q_{ik} - Q_{jl}) / 2 = Q2_{ik} + Q2_{jl} - Q2_{il} - Q2_{jk} \quad(3.10)$

Это общая формула скалярного произведения упорядоченных пар.

Порядок индексов важен — задает порядок в парах и направление соответствующих им векторов. В общем случае вершины пар могут не лежать в одной плоскости, поэтому данному определению скалярного произведения не всегда можно сопоставить косинус угла между направлениями.

Выражения вида (3.10) (четыре слагаемых — два положительных, два отрицательных) встречаются в разных разделах математики. Их присутствие обычно означает, что скорее всего есть и пары, скалярное произведение которых задает структуру данного выражения.

Симметрия тензора норм пар

Перечислим свойства тензора взаимных норм

$G_{ij,kl}$

.

1) Очевидно, что он антисимметричен относительно перестановки индексов

$ij$

или

$kl$

:

$G_{ij,kl}=-G_{ji,kl}=G_{ij,lk} \quad(3.11.1)$

2) Не зависит от перестановки векторов:

$G_{ij,kl}=G_{kl,ij} \quad(3.11.2)$

3) Существует только две независимых нормы на 4-х вершинах ввиду тождества:

$G_{ij,kl} + G_{ik,lj} + G_{il,jk} = 0 \quad(3.11.3)$

Знатоки математики должны увидеть в формуле (3.11.3) первое (алгебраическое) тождество Бьянки. Из чего можно сделать вывод, что структуры тензора кривизны (Римана) и тензора взаимных норм векторов — подобны.

4) Норма независимых пар может быть выражена через разность норм смежных пар:

$G_{ij,kl} = G_{ij,il} - G_{ij,ik} \quad(3.11.4)$

Это полезное тождество, которым воспользуемся в следующей статье.

5) Дистанция между двумя вершинами

$i$

и

$j$

может быть выражена через значения скалярных произведений смежных и независимых пар:

$Q_{ij} = G_{ik,ij} + G_{jk,ji} = G_{il,ik} + G_{jl,jk} - G_{il,jk} - G_{jl,ik} \quad(3.11.5)$

Еще о свойствах скалярного произведения пар

Скалярное произведение и кофакторы лапласиана

Скалярное произведение упорядоченных пар может быть выражено через свойства лапласиана (графа или симплекса).

Если заданы две пары вершин (

$i, j$

и

$k, l$

), то значение их взаимной нормы можно получить делением кофактора 2-го порядка

$U_{ij,kl}(L)$

на скалярный потенциал лапласиана

$u(L)$

:

$G_{ij,kl}=U_{ij,kl}(L) / u(L) \quad(3.12.1)$

Кофактором

$U_{ij,kl}$

называется определитель минора квадратной матрицы (с учетом знака). Скалярный потенциал

$u(L)$

— это кофактор 1-го порядка от лапласиана (см. (1.12) из первой статьи).

Таким образом необходимо из матрицы лапласиана удалить столбцы, соответствующие одному вектору (в формуле это

$i, j$

-й столбцы), и строки, соответствующие другому (

$k, l$

), после чего разделить определитель получившегося минора на скалярный потенциал

$u(L)=det'(L)$

. Если удаляемые столбцы и строки лапласиана — одни и те же, то получим значение дистанции между узлами.

Скалярное произведение пар на графе

Между любыми парами графа можно определить их взаимную норму — скалярное произведение. Поскольку граф обычно задан лапласианом, то для расчета можно использовать формулу (3.12.1).

Пусть, например, в качестве образующих вершин двух пар выбраны —

$A, B$

и

$M, N$

. Тогда скалярное произведение между данными парами дается формулой (3.10):

$G_{AB,MN}=(Q_{AN} + Q_{BM} - Q_{AM} - Q_{BN}) / 2 \quad(3.10')$

Для графа, представляющего собой электрическую цепь, значение скалярного произведения отражает понятие обобщенного сопротивления в электрической цепи. Для измерения такого («кажущегося») сопротивления источник тока (напряжение) прикладывается к одним узлам (A и B), а разность потенциалов измеряется между другими (M и N). Взаимная норма (скалярное произведение) пар равна нулю, если внешняя разность потенциалов не приводит к разности потенциалов на измеряемой паре.

Граф не обязательно должен быть дискретным,- грунт является примером сплошного (непрерывного) графа, на котором можно проводить измерения скалярного произведения между выбранными элементами.

Схема установки для исследования методом сопротивления: A и B – питающие заземления; M и N – измерительные заземления; 1 – измерительный прибор (из книги «Электроразведка», Якубовский Ю. B., M., 1980).

На рисунке показана схема измерения скалярного произведения пар

$(A,B)$

и

$(M,N)$

на грунте.

В следующей статье разберем подробнее, почему отношение заданной и измеряемой разностей потенциалов узлов оказалось связанным со скалярным произведением векторов.

Обращение минора лапласиана

Подматрицу значений взаимных норм (скалярных произведений) пар можно получить обращением минора лапласиана. Обозначим лапласиан, из которого удалены

$a$

-я строка и

$b$

-й столбец, как

$L^{i(a),j(b)}$

. Тогда имеет место тождество:

$G_{jb,ia}=(L^{i(a),j(b)})^{-1} \quad(3.12.2)$

Отметим, что в матрице

$G_{jb,ia}$

отсутствуют

$b$

-я строка и

$a$

-й столбец.

Если известна матрица скалярных произведений

$G_{jb,ia}$

, то можно восстановить дистанционную матрицу

$Q_{ij}$

на основании преобразования дистанции. Вначале расширяем подматрицу

$G_{jb,ia}$

отсутствующей строкой

$b$

и столбцом

$a$

с нулевыми значениями. К полученной матрице применяем преобразование дистанции:

$Dist_{ij}(X) = X_{ii} + X_{jj} - X_{ij} - X_{ji}$

которое в нашем случае принимает вид тождества (3.11.5):

$Q_{ij} = G_{ib,ia} + G_{jb,ja} - G_{ib, ja} - G_{jb, ia} \quad(3.12.3)$

Совокупность формул (3.12.2) и (3.12.3) — один из способов получить дистанционную матрицу по заданному лапласиану. Удаляем из лапласиана какой-либо из узлов (пусть будет

$a$

) и обращаем. Получаем матрицу взаимных норм пар

$G_{ia,ja}$

(ее другое название — фундаментальная матрица, см. следующую часть). Значение индекса

$a$

фиксировано — базовая вершина. Матрица

$G_{ia,ja}$

представляет собой скалярные произведения пар, первая вершина которых находится в базовом узле

$a$

, а вторая пробегает по остальным вершинам базиса.

Далее применяем к матрице

$G_{ia,ja}$

преобразование дистанции (3.12.3).

Квадрат скалярного произведения, матрица Якоби

Если в графе изменить значение проводимости ребра (элемент лапласиана), то очевидно, что изменятся и все дистанции между вершинами (нормы векторов)

$Q_{ij}$

. При увеличении проводимости дистанции должны сократиться (уменьшиться). Подарок богов в том, что можно оценить изменение дистанций не только качественно, но и количественно. Обозначим производную матрицы дистанций по лапласиану как

$Y_{ij,kl}=\partial Q_{ij} / \partial L^{kl} \quad(3.13)$

Тензор

$Y_{ij,kl}$

— это матрица Якоби, то есть выражение изменений значений дистанционной матрицы

$Q_{ij}$

при изменении значений лапласиана

$L^{kl}$

. Оказывается, что данный тензор выражается через квадрат скалярного произведения пар (квадрат взаимных норм):

$ Y_{ij,kl}=(G_{ij,kl})^2=(Q_{il} + Q_{jk} - Q_{ik} - Q_{jl})^2/4 \quad(3.14)$

То есть вариация лапласиана связана с вариацией дистанционной матрицы через скалярное произведение пар. Этим подчеркивается роль данного тензора. Кроме того, тензор квадратов скалярного произведения

$(G_{ij,kl})^2$

можно обращать.

Тензор квадросвязности вершин

Выражение (3.13) можно представить в таком эквивалентном виде:

$\partial Q_{ij} = Y_{ij,kl} \space \partial L^{kl} \quad(3.13')$

Данную формулу можно трактовать как отклик

$\partial Q_{ij}$

на воздействие

$\partial L^{kl}$

. Тензор

$Y_{ij,kl}$

играет роль передаточной функции (реакции на воздействие).

Возможна и обратная ситуация, при которой воздействие и отклик меняются местами. Прямая и обратная

$Y^{ij,kl}$

передаточные функции связаны соотношением:

$Y_{ij,kl} Y^{kl,mn}=\delta_{ij}^{mn} \quad(3.15)$

Снова удача — тензор

$Y^{ij,kl}$

можно выразить через лапласиан:

$Y^{ij,kl}=\partial L^{ij} / \partial Q_{kl}=( L^{il} L^{jk} + L^{ik} L^{jl})/2 \quad(3.16)$

Если важен тензор взаимных норм, то и тензор

$Y^{ij,kl}$

должен быть не менее значим. Назовем его тензором квадросвязности и кратко рассмотрим его свойства.

Свойства квадросвязности вершин

Значения тензора определены через значения лапласиана для 4-х вершин. Будем считать данные вершины вершинами графа. Допустим, что все 4 вершины различны:

Здесь векторами обозначены пары вершин, между которыми считается квадросвязность. Пары имеют отличную от нуля квадросвязность только тогда, когда их вершины попарно связаны (необходимые связи показаны на рисунке одинаковым цветом). Если все связи в графе положительны, то квадросвязность между разными вершинами также всегда больше или равна нулю.

Если пары имеют общую вершину, то смысл квадросвязности меняется. Это связано с тем, что диагональные элементы лапласиана не равны нулю (как в дистанционной матрице), а отражают общую связность (проводимость) узла.

$Y^{ki,kj}=( L^{ki} L^{kj} + L^{kk} L^{ij})/2 \quad(3.16.1)$

Пары вершин могут совпадать — диагональные элементы тензора квадросвязности.

$Y^{ij}=Q^{ij,ij}=(L^{ii} L^{jj} + (L^{ij})^2)/2 \quad(3.16.2)$

Здесь

$Y^{ij}$

характеризует связь двух узлов i и j. Считается как сумма произведения их суммарной проводимости (степени вершины)

$L^{ii} L^{jj}$

и квадрата связи между узлами

$(L^{ij})^2$

.

Несмотря на то, что формально для тензора

$Y^{ij,kl}$

могут вычисляться элементы вида

$Y^{ij,ll}$

(одна из пар вырождена), данные (вырожденные) элементы являются линейно-зависимыми от остальных. Могут быть вычислены через сумму тензора по одному из индексов пары:

$Y^{ij,ll} = -Y^{ij,kl} 1_k \quad(3.16.3)$

___

Подводим итоги. Дано общее определение понятия скалярного произведения упорядоченных пар на элементах пространства. Если пары принадлежат пространству базиса, то данный скаляр является инвариантом — не зависит от выбора базиса. В следующей статье рассмотрим пространство графа — что это такое, определим на нем точечный базис и разберемся с его свойствами.