Новое доказательство теоремы о многочлене

Habrahabr 1

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть

$f(x)$

— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки

$x\in R$

найдется натуральное

$n$

такое, что

$f^{(n)}(x)=0$

. Тогда

$f(x)$

многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть

$H$

и

$F_{1},F_{2},...,F_{n},...$

замкнутые подмножества прямой, причем

$H \neq \varnothing$

и

$H\subset \bigcup \limits_{n} F_{n}$

. Тогда в

$H$

найдется точка, которая содержится в одном из

$F_{n}$

вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка

$x\in H$

, натуральное

$n$

и

$\varepsilon >0$

такие, что

$(x-\varepsilon;x+\varepsilon)\cap H \subset F_{n}$

.
Действительно (от противного), выберем точку

$x_{1} \in H$

и окружим ее окрестностью

$\Delta_{1}=(x-\varepsilon_{1};x+\varepsilon_{1})$

, где

$\varepsilon_{1}<1$

. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит

$\Delta_{1} \cap H \not \subset F_{1}$

. Выберем в

$\Delta_{1} \cap H$

точку

$x_{2}\notin F_{1}$

. Окружим

$x_{2}$

интервалом

$\Delta_{2}=(x_{2}-\varepsilon_{2};x_{2}+\varepsilon_{2})$

таким, что концы этого интервала — точки

$x_{2}-\varepsilon_{2}$

и

$x_{2}+\varepsilon_{2}$

лежат в

$\Delta_{1}$

, а

$\varepsilon_{2}<\frac{1}{2}$

. По предположению

$\Delta_{2}\cap H\notin F_{2}$

. Это позволяет выбрать в

$\Delta_{2} \cap H$

некоторую точку

$x_{3} \notin F_{2},...$

Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов

$\Delta_{1}\supset \Delta_{2}\supset ...$

Ясно, что

$x_{1}-\varepsilon_{1}< x_{2}-\varepsilon_{2}<...<x_{n}-\varepsilon_{n}...$

, (1)

$x_{1}+\varepsilon_{1}>x_{2}+\varepsilon_{2}>...>x_{n}+\varepsilon_{n}...$

(2)

Так как каждый промежуток

$\Delta_{i}\cap H\neq \varnothing$

, то

$\lim _{i\to \infty}(x_{i}-\varepsilon_{i})=\lim_{i\to\infty} (x_{i}+\varepsilon_{i})=y, y\in H$

, а из (1) и (2) следует, что

$y\in \Delta_{i}$

для каждого

$i$

. Таким образом мы нашли точку

$y \in H$

, но не лежащую ни в одном из множеств

$F_{i} \phantom{1} (i=1,2,...)$

.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция

$f(x)$

— многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом

$E$

. Множество

$E'$

, дополнительное к

$E$

обозначим через

$F$

и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если

$x\in F$

, то

$x$

— неправильная точка).
2. Если каждая точка отрезка

$[a;b]$

правильная, то сужение

$f(x)$

на

$[a;b]$

— многочлен.
Действительно, для каждой точки

$t\in [a;b]$

найдется интервал такой, что сужение

$f(x)$

на этот интервал — многочлен. Т.е. для каждой точки найдется интервал и некоторое натуральное

$n$

, что

$f^{(n)}(x)$

равна нулю на этом интервале.

Из компактности отрезка

$[a;b]$

следует, что найдется такое натуральное

$ m$

, что

$f^{(m)}(x)=0$

всюду на

$[a;b]$

, следовательно

$f(x)$

— многочлен.
3. Если каждая точка полуинтервала

$[a;b)$

правильная, то сужение

$f(x)$

на

$[a;b)$

— многочлен.
Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность

$a=a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}<...$

такую, что

$a_{n}$

сходится к

$b$

. По доказанному в предыдущем пункте на каждом из отрезков

$[a_{1};a_{2}],...,[a_{1};a_{n}],...$

сужение

$f(x)$

— многочлен. Пусть

$P_{k}(x)$

— многочлен, совпадающий с

$f(x)$

на отрезке

$[a_{1};a_{k+1}]$

. Ясно, что

$P_{k}(x)=P_{1}(x)$

для всех

$k=2,3,...$

Поэтому

$P_{1}(x)$

совпадает с

$f(x)$

на

$[a;b)$

, значит и в точке

$b$

. (Напомним, что

$P_{1}(x)$

и

$f(x)$

непрерывны всюду на

$R$

).

Аналогично предыдущему легко доказать, что:

4. Если каждая точка полуинтервала

$(a;b]$

или интервала

$(a;b)$

— правильная, то

$f(x)$

— многочлен на

$[a;b]$

.
Приступим к исследованию неправильных точек, т.е. точек множества

$F$

.
5. Множество

$F$

не содержит изолированных точек.
Действительно. Пусть

$a\in F $

— изолированная точка. Тогда для некоторого

$\varepsilon >0\phantom{1} [a-\varepsilon,a)$

и

$(a,a+\varepsilon]$

состоят из правильных точек. Значит, сужение

$f(x)$

на

$[a-\varepsilon;a]$

и на

$[a;a+\varepsilon]$

многочлены. Ясно, что при достаточно большом

$n$

(

$n$

должно быть больше степеней каждого из этих многочленов)

$f^{n}(x)$

будет равна нулю всюду на

$[a-\varepsilon;a+\varepsilon]$

. Т.е.

$a$

является правильной точкой.
6. Пусть множество

$F$

неправильных точек не пусто. Положим

$E_{n}=\{ x:f^{(n)}(x)=0 \}$

. Ясно, что

$F \subset \bigcup \limits_{n} E_{n}$

и каждое

$E_{n}$

замкнуто. Из теоремы Бэра (см. 1.) следует, что найдется интервал

$(a;b)$

такой, что

$(a;b) \cap F\neq 0$

и

$(a;b) \cap F$

лежит в одном из

$E_{n}$

.
Рассмотрим функцию

$f^{(n)}(x)$

. Эта функция равна нулю в каждой точке

$x\in F \cap (a;b)$

. Так как каждая неправильная точка является предельной для множества

$F$

, то

$f^{(n+k)}(x)=0$

для всех целых

$k\geq 0$

и всех

$x\in (a;b)\cap F$

.

Докажем, что

$f^{n}(x)$

равна

$0$

всюду на

$(a;b)$

. Пусть не так. Тогда найдется

$c \in (a;b)$

такая, что

$f^{(n)}(c)\neq 0$

. Так как множество

$F$

не пусто и замкнуто, то найдем в нем точку

$d$

, ближайшую к

$c$

. Для определенности положим

$d < c$

. Функция

$g(x)=f^{(n)}(x)$

бесконечно много раз дифференцируема на

$[d;c], \phantom{1} g(d)=0$

и все производные

$g^{n}(d)=0$

. Так как

$g(c) \neq 0$

, то по теореме о конечных приращениях Лагранжа

$g^{(n)}(x)$

не может быть равна нулю всюду на

$(d;c)$

ни для одного натурального

$n$

.

Слободник Семён Григорьевич, разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы